energy method の入口いりぐち

date2026-04-23descriptionenergy method を、PDE の解の大きさや保存量を積分量で制御する方法として導入する。prerequisitesheat・wave・Laplace方程式 / 多重積分と変数変換type講義statusactive

mathpartial-differential-equationsenergy-methodlecture

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、PDE の解かいを点てんごとに追跡ついせきするのではなく、領域全体りょういきぜんたいの積分量せきぶんりょうとして制御せいぎょすることである。

energy methodEnergy method は、解かいや微分びぶんの二乗積分にじょうせきぶんをエネルギーとして定義ていぎし、その時間変化じかんへんかを評価ひょうかする方法ほうほうである。

波動方程式はどうほうていしきでは運動うんどうと歪ひずみのエネルギーが保存ほぞんされる。熱方程式ねつほうていしきでは二乗積分にじょうせきぶんが減衰げんすいする。積分せきぶんによる評価ひょうかは、明示解めいじかいがなくても有効ゆうこうである。

energy method では部分積分ぶぶんせきぶんや Green 公式こうしきが反復はんぷくして現あらわれる。境界条件きょうかいじょうけんが境界項きょうかいこうを消去しょうきょする役割やくわりを持もつ。

$u_{t t} = c^{2} u_{x x}$ 、 $u (0, t) = u (L, t) = 0$ とする。エネルギーを

E (t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} (u_{t^{2}} + c^{2} u_{x^{2}}) d x

と定義ていぎする。 $E^{'} (t)$ を計算けいさんし、部分積分ぶぶんせきぶんと境界条件きょうかいじょうけんを使用しようすると、 $E^{'} (t) = 0$ となる。これは明示解めいじかいを使用しようせずに保存量ほぞんりょうを得える方法ほうほうである。

計算けいさんは次つぎの通とおりである。

E^{'} (t) = \int_{0}^{L} (u_{t} u_{t t} + c^{2} u_{x} u_{x t}) d x

方程式ほうていしき $u_{t t} = c^{2} u_{x x}$ を代入だいにゅうすると、

E^{'} (t) = c^{2} \int_{0}^{L} (u_{t} u_{x x} + u_{x} u_{x t}) d x

である。第一項だいいっこうを部分積分ぶぶんせきぶんすると、

\int_{0}^{L} u_{t} u_{x x} d x = {[u_{t} u_{x}]}_{0^{L}} - \int_{0}^{L} u_{t x} u_{x} d x

となる。固定端こていたんでは $u (0, t) = u (L, t) = 0$ なので端点たんてんで $u_{t} = 0$ となり、境界項きょうかいこうは消きえる。残のこる二ふたつの積分せきぶんは打うち消けし合あうため、 $E^{'} (t) = 0$ である。

$u_{t} = κ u_{x x}$ 、 $u (0, t) = u (L, t) = 0$ とする。 $\int_{0}^{L} u^{2} d x$ を時間微分じかんびぶんすると、

\frac{d}{d t} \int_{0}^{L} u^{2} d x = - 2 κ \int_{0}^{L} u_{x^{2}} d x [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0

を得える。熱ねつでは二乗積分にじょうせきぶんが減衰げんすいし、波なみではエネルギーが保存ほぞんされる。この差さが方程式ほうていしきの性質せいしつを示しめす。

導出どうしゅつは

\frac{d}{d t} \int_{0}^{L} u^{2} d x = 2 \int_{0}^{L} u u_{t} d x = 2 κ \int_{0}^{L} u u_{x x} d x

から始はじまる。部分積分ぶぶんせきぶんにより

2 κ \int_{0}^{L} u u_{x x} d x = 2 κ {[u u_{x}]}_{0^{L}} - 2 κ \int_{0}^{L} u_{x^{2}} d x

である。Dirichlet 条件じょうけんでは境界項きょうかいこうが 0 になるため、減衰評価げんすいひょうかが得えられる。

比較例ひかくれいとして $u_{t t} = c^{2} u_{x x} + F (x, t)$ を考かんがえる。この場合ばあい、

E^{'} (t) = \int_{0}^{L} F (x, t) u_{t} (x, t) d x

となり、エネルギーは保存ほぞんされない。右辺みぎへんは外力がいりょくが系けいへ注入ちゅうにゅうする仕事率しごとりつを表あらわす。energy method は保存ほぞんだけでなく、増加ぞうかや減衰げんすいを不等式ふとうしきで制御せいぎょする枠組わくぐみでもある。

非線形ひせんけい PDE では、エネルギーが閉とじた評価ひょうかを与あたえるとは限かぎらない。散逸さんいつ・保存ほぞん・外力がいりょくの有無うむを確認かくにんする必要ひつようがある。